백준 17626번 Four Squares [Python]

[Silver III] Four Squares - 17626

문제 링크

성능 요약

메모리: 109600 KB, 시간: 128 ms

분류

브루트포스 알고리즘, 다이나믹 프로그래밍

제출 일자

2024년 4월 9일 15:15:43

문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

풀이

dp를 이용해야 하는 건 알았지만 규칙을 찾기가 어려웠다. 특히 41의 경우 4²+5² 총 2개가 나와야하는데 이런 제곱수들의 합으로 이루어진 경우도 분류해야하는 부분에 생각을 많이 했던거 같다.

 for i in range(2, N+1):
    min_ = 4
    j = 1

dp[1] = 1이 초기화 되어있는 상태에서 2부터 N까지 반복한다. 모든 제곱값의 최소개수 중 가장 큰 값이 4이므로 초기 최소값을 4로 지정한다. 그리고 피연산자인 j를 선언한다.

    while j**2 <= i:
        min_ = min(min_, dp[i-j**2])
        j += 1

    dp[i] = 1 + min_

i에서 j² 를 뺀 값의 제곱값 개수와 min_을 비교하며 더 작은 개수로 min_을 갱신한다. 예를 들어 i=25, j=5인 경우, min_의 값이 어떻든 dp[25-5²=0]가 0이므로 dp[25]의 제곱값 최소 개수는 기본 제곱값 개수 1에 0을 더한 1이 된다. -> 25 = 5²

전체 코드

# pypy로 실행

import sys
input = sys.stdin.readline

N = int(input())
dp = [0]*50001 # n범위만큼의 dp리스트 초기화
dp[1] = 1 # 초기값 1 저장

for i in range(2, N+1):
    min_ = 4 # 최소값 중 가장 큰 값 4
    j = 1 # i를 구성하는 피연산자

    while j**2 <= i: # 제곱값이 i보다 같거나 작을 때만
        min_ = min(min_, dp[i-j**2]) # 제곱값의 최소 개수 저장
        j += 1

    # (모든 수에 존재하는 제곱값 1개) + (값에 따라 달라지는 제곱값 최소 개수)
    dp[i] = 1 + min_
print(dp[N])

# 브루트포스 알고리즘을 적용한 경우(python 실행 가능)

import sys
input = sys.stdin.readline

N = int(input())

# 자연수의 제곱수를 인덱스로 갖는 값에 1, 그렇지 않은 값에는 0
arr = [0 if i**0.5 % 1 else 1 for i in range(N+1)]

min_ = 4 # 아래의 경우를 제외한 나머지
for i in range(int(N**0.5), 0, -1):

    # N이 제곱수인 경우,
    if arr[N]:
        min_ = 1
        break

    # N에서 제곱수를 뺀 나머지 값이 제곱수인 경우,
    elif arr[N-i**2]:
        min_ = 2
        break

    else:
        for j in range(int((N-i**2)**0.5), 0, -1):

            # N에서 제곱수를 뺀 값에 제곱수를 한번 더 뺀 결과가 제곱수인 경우,
            if arr[(N-i**2)-j**2]:
            min_ = 3
print(min_)